这一章节将介绍拓扑基（简称基）的概念。如同从每一点的邻域中选取最具代表性的邻域组成邻域基那样，从拓扑空间的开集中选取最具代表性的开集就组成了基。本章还将讨论基的一般化——子基。另外，通过指定基或子基来定义拓扑空间的方法也很重要，本文将一并说明。

设 为拓扑空间， 的开集族 满足：对于 的任意开集 及任意 ，存在 ，使得 。此时 称为 的拓扑基，简称基。

设 为拓扑空间，给定 的开集族 ，那么以下两条叙述等价：

1. 为 的基。
2. 对于 的任意开集 ，存在 的子集 ，使得 。

证明：先证 。任取开集 ，则对于每个 ，总能选取某个 使得 ，那么 。记所有 所组成的集族为 ，则 。

再证 。对于 的任意开集 及任意 ，因为 ，所以存在 ，使得 。而 ，所以 ，这就是基的定义。

很明显的例子，对于拓扑空间 ，拓扑 为 的基。

设 为距离空间，则所有开球组成的集族为 的基，即 。

首先，开球为开集（命题1.16）。其次，任取开集 和 ，根据距离空间中开集的定义，存在 使得 。而 ，所以 是基。

进一步地， 的子集 也是 的基。证明和例2.8类似，这里省略。

欧氏空间 为距离空间，由例3.4可知 和 都是 的基。因为 不可数，所以这两个基也不可数。

取 ，则集族 恰好为 中开区间的全体组成的集族，即 为 的基。

实际上 具有可数的基。为了说明这点，考虑坐标全为有理数的点集 ，因为 可数，所以 也可数。

构造集族 ，它是由 的开集所组成的可数集。任取开集 和 ，则存在 ，使得 。取某个 ，对每个坐标分量 ，根据有理数的稠密性，存在 使得 。此时， ，因此 。于是开球 ，且 。

任取 ，则 。根据三角不等式， ，所以 。由 的任意性得 成立，所以 为 的可数基。

具有可数基的拓扑空间也有专门的名字。

拓扑空间 是第二可数的，或者说满足第二可数公理，是指空间具有至多可数的基。

由例3.5可知 为第二可数空间。

拓扑空间 如果满足第二可数公理，那么它也满足第一可数公理。

证明：设 为第二可数空间，根据第二可数的定义， 具有至多可数的基 。任取一点 ，构造集族 ，则因为 ，所以 为至多可数集。

因为每个 都是含有 的开集，所以每个 都是 的开邻域，于是 就是由 的邻域所组成的集族。任取 的开邻域 ，因为 为基，所以存在 满足 。如此， ，于是 满足邻域基的定义。

命题3.7反过来不成立。

设 为任意不可数集（例如 ），赋予离散拓扑。参考例2.9，对于每个 ，单点集构成的集族 为 的邻域基，它是至多可数的，因此 为第一可数空间。

然而 不是第二可数空间，理由很简单。任取某个基 ，对任意 ，单点集 为开集。根据基的定义，存在开集 ，使得 。显然， ，那么 就是由 中所有单点集所组成的集族。因为 不可数，所以 也不可数。

拓扑空间的基具有以下性质。

设 为拓扑空间 的基，则成立以下两条性质：

• ：对任意的 ，存在 ，使得 。
• ：对任意的 以及 ，存在 ，使得 。

证明： 是显而易见的。因为 本身就是开集， ，根据基的定义， ，使得 。

再证 。任取 以及 ，因为基中的集合均为开集， 为开集，所以 也为开集。而 ，根据基的定义， ，使得 。

证毕。

和邻域基的情况类似，以下命题告诉我们通过给集合指定基的方式同样可以定义拓扑空间。

设 为非空集合，集族 满足条件 。此时，在 上有且只有一个拓扑 ，使得 恰好为拓扑空间 的基。这个拓扑具体如下：

。

证明：同样是先证明上面的集族满足条件 ，即 确实是一个拓扑。

：先证 。因为 总为真（同命题0.8，注意1.3，命题2.11），所以 。再证 。任取 ，由条件 可知存在 ，使得 ，所以 。

：任取 ，交集为空时 成立。交集不为空时，任取 。对于每个 ，存在 使得 ，那么 。根据条件 ，存在 使得 ，所以 。

：设 为指标集，集族 。任取 ，则 使得 。又因为 ，所以 使得 ，于是 。

由此得到了拓扑空间 ，再证明 为基。首先证明 中的集合为开集，即 。任取 ，只要令 ，就得到 成立，故 。由 的任意性可知 ，即 中集合为开集。再任取 ，根据 的定义，存在 使得 ，所以 为基。

最后证明满足条件的 是唯一的。假设 上有两个拓扑 都使得 恰好为基，任取 。对于任意的 ，因为 为 的基，所以存在 ，使得 。另一方面， 且 是拓扑空间 的基，所以 是拓扑空间 的开集，从而 是 在 中的开邻域。根据命题2.4， 是拓扑空间 的开集，即 ，所以 。同理可证 ，故 ，即这样的拓扑是唯一的。

证毕。

命题3.10中的拓扑 叫作由基 生成（或诱导）的拓扑。此时， 是包含 的最小拓扑（最粗的拓扑）。

证明：首先， 是拓扑空间 的基，所以 。其次，设 是 上任意满足 的拓扑。任取 ，由命题3.2可知 ，使得 。然而， ，所以每个 ，于是 的右边就是 中若干开集之并。根据条件 可知 ，所以 ，即 是包含了 的最小拓扑。

证毕。

利用命题3.10我们来在数轴上建立一个不同于通常拓扑（例1.9）的拓扑。

设半开半闭区间 的全体组成集族 ，可以验证 满足条件 ，从而根据命题3.10，数轴上存在唯一拓扑使得 为它的基。给数轴赋予了该拓扑后得到的拓扑空间称为Sorgenfrey直线，用符号 表示。

设 为任意一点，我们来证明所有形如 的区间所组成的集族 为 的邻域基。任取 为 的开邻域，因为 为基，所以存在区间 使得 。根据实数的阿基米德性质，存在正整数 ，使得 。于是 ，这就证明了集族 为 的邻域基。因为 是可数集，由 的任意性可知 为第一可数空间。

但 不是第二可数空间，利用反证法来证明。假设 具有某个至多可数的基 ，构造集族 ，满足 中的集合非空且有下界，则 为至多可数集。根据确界原理，每个 都有下确界 。记映射 ，因为 至多可数，所以像集 也至多可数。但是因为 不可数，所以必然存在某个 。另一方面， 为开集，所以存在 ，使得 。注意到 含有元素 且 为它的下界，那么 。而下界 在集合 中意味着 ，这就和 矛盾。

记数轴上的通常拓扑为 ，Sorgenfrey直线上的拓扑为 ，现说明 。首先，对于任意开区间 ，有 。右边是 的基（开集）之并，所以左边也是 的开集，即 ，那么开区间组成的集族 。又根据例3.5可知，开区间是通常拓扑 的基，由注意3.11得 是包含了 的最小拓扑，因此 。

将基的条件削弱，就得到了子基的概念。

设 为拓扑空间， 的集族 称为 的子基（或准基），如果它满足： 中任意有限个集合之交所组成的集族 为 的基。

只要令 就可知所有 也都是 的元素，即 ，所以 中的集合都是开集。另外，当 本身为基时，因为 ，所以 也是基（请大家自行验证）。从而 满足子基的定义，即任何基都可以视为子基。

对于数轴 ，考虑以下集族：

，

即所有半开无限区间的全体组成的集族，现在来证明它是 的子基。

因为 中的集合都是开集，所以任意有限个集合之交也是开集，即定义3.13中 的集合也是开集。其次，任取开集 和 ，存在 ，使得 。在这里， ，所以 。结合 可知 为 的基，所以 为子基。

拓扑空间 的任意子基 都具有以下性质：

• ：对于任意 ，存在 ，使得 。即 。

证明：任取 ，因为 本身为开集，所以存在 ，使得 。由 的定义，存在 ，使得 。于是 ，任取一个作为 即可。

证毕。

虽然 是非常弱的一个条件，但只要 上的某个集族 满足这个条件，它就能成为 上某个拓扑的子基。也就是下面的命题成立：

设 为非空集合，集族 满足条件 。此时，在 上有且只有一个拓扑 ，使得 恰好为拓扑空间 的子基。

证明：给定集族 之后，按照定义3.13那样定义集族 。此时易证对于任何的 ，都有 ，所以 满足条件 。又因为 且 满足条件 ，所以 满足条件 。于是根据命题3.10，以 为基，即以 为子基的拓扑 有且只有一个。

证毕。

在集合 上定义拓扑时，开集公理 是一个非常严苛的条件，很多集族为此无法成为开集。然而命题3.16在一定程度上缓解了这种困难，也就是说哪怕集族 不满足 ，但只要满足非常弱的条件 ，我们就能通过 构造出一个拓扑。

命题3.16中的拓扑 叫作由子基 生成（或诱导）的拓扑。注意到此时的 是空间 的基，所以 同时也是由基 生成的拓扑。

和注意3.11一样， 也是包含 的最小拓扑。首先， 是拓扑空间 的子基，所以 。其次，设 是 上任意满足 的拓扑。任取 ，由 的定义可知 ，其中 。然而 ，所以每个 ，于是 的右边就是 中有限个开集之交。根据条件 可知 ，所以 。又上面已经说了 是由基 生成的拓扑，由注意3.11可知 是包含了 的最小拓扑，即 。

满足条件 的集族 虽然能够生成拓扑 使得 ，但 本身不一定满足条件 。所以，由子基生成拓扑的本质其实是往集族 中加入最少量的集合，得到一个满足条件 的新集族 。

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